八一中文

第6章（第1页）

? 如果有两组数的立方和相等的情况存在，则肯定存在最小的数可以同时充当两组数的立方和。

? 如果不等于自身的数存在，则肯定存在最小的不等于自身的数。

针对任何你能想到的特性（比如说“偶数”、“质数”、“可以充当两个数的立方和”，以及“不等于自身”），我们都可以归纳出相应的公理。顺便说一句，最小的偶数是0，最小的质数是2，可以充当两个数的立方和的最小的数是1 729（1 729是1的立方加上12的立方，也是9的立方加上10的立方），不过事实上并不存在不等于自身的数。

这无穷的推导过程得出了完整的数学公理列表。当我提到公理列表的时候，我的意思是指常用的公理列表。当然，我也欢迎你写下自己心里认为可以成为公理的列表。第一份被写出来的类似列表出现在约一个世纪前，其作者是意大利逻辑学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano），因此这些公理通常被称为“皮亚诺公理”。

以皮亚诺公理为出发点，使用逻辑推理的规则，我就可以推导出某些定理。例如，我们可以证明，两个偶数的和还是偶数，合数都可以被分解成质数，以及最大的质数不存在。我们知道这些定理是正确的，因为它们是由公理通过逻辑推导而得出的结论，而且公理是正确的。但是，这并不是公理之所以正确的本质原因，两个偶数的和本来就肯定是偶数，无论这是否遵循我们（或者皮亚诺教授）所写下来的公理。

讨巧的哥德尔不完备性定理

什么是正确的，这是一个数学问题。什么是可以被证明的，这取决于我们对于公理的（或许武断的）选择。

事实上，作为著名的“哥德尔不完备性定理”的一部分，克尔特·哥德尔（Kurt Godel）给出的一个明确的范例是一个在算术领域是正确的但却无法证明的命题。在这里列出哥德尔的范例显得有点过于繁琐了，不过我在后面会给你介绍一个同样合适的例子。

永恒的数学（4）

如果哥德尔的命题无法被证明，那么他如何得知这是正确的呢？答案是，他知道这是正确的，因为他设法推导出了这一点。但是，他通过使用一个在皮亚诺公理列表之外的办法来“作弊”了。

这里便有这个列表之外的公理，让我们把它称为“超级公理”：皮亚诺公理是具有一致性的。这就是说，你不能用皮亚诺公理来证明自相矛盾的事物，例如，不能证明“不是所有的偶数都是偶数”。

我们可以轻松地写下那些并不具有一致性的公理列表：例如，你可以把“0不等于1”作为你的第一公理，而“0等于1”作为你的第二公理。这两个公理互相矛盾，而它们互相矛盾的理由便是其中有一条公理是错误的。

尽管如此，皮亚诺公理列表的内容不能自相矛盾，因为它们都是正确的。因此，“超级公理”是正确的，而且它推导出来的一切都是正确的。哥德尔发现了这样一个命题：一方面，它遵循皮亚诺公理和“超级公理”（所以我们知道它是正确的）；但另一方面，它不能单独由皮亚诺公理推导出来（因此按照通常标准，它是无法被证明的）。

你是不是感觉被骗了？哥德尔著名的“无法被证明”的命题其实是正确的，而且是可以被证明的，只要你允许自己使用那无可争议的“超级公理”。

因此，让我们把“超级公理”也加进自己的公理列表里。现在，哥德尔的命题也是正确的，而且是可以被证明的，就像“1加1等于2”这个命题一样是正确的，而且是可以被证明的。这并没有什么稀奇的。那么，什么才算得上是哥德尔的伟大成就呢？

“继续吧,”哥德尔回答说，“把‘超级公理’添加到皮亚诺的公理列表里。现在你可以证明我的命题了。不过我可以给你提供一个新的命题，它仍然是你的最新升级版公理列表所无法证明的。而我的新命题仍然是真实的。”

哥德尔怎么知道自己的新命题是正确的呢？因为他证明了这一点。这一次他“作弊”的办法是加入了另一个新公理，它被称为“超超级公理”（Super Duper Axiom）：皮亚诺公理加上“超级公理”组成的升级版的公理列表仍然是正确的。

这个“超超级公理”是正确的，因为包括“超级公理”在内的所有其他公理都是正确的。因此，哥德尔的新命题还是正确的，因为他可以利用“超超级公理”来证明它。但你不可以证明这一点，因为“超超级公理”不在你所承认的公理列表里。